:: Blog De Matemática Do Prof. Ricardo Vianna ::: Equações. Parte I


1. Introdução
No caso de equações, é costume chamar as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem as equações, de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
2. Propriedades da Igualdade

Esta propriedade nos diz que podemos somar ( ou subtrair ) um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtendo uma sentença equivalente. É com base nesta propriedade que podemos “passar” um termo de “um lado para outro” de uma igualdade, desde que troquemos seu sinal.
Exemplo
Considere a equação:
x + 5 = 7


De acordo com esta propriedade, podemos multiplicar ( ou dividir ) ambos os membros de uma igualdade por um número diferente de zero, obtendo uma sentença equivalente.
Exemplo.
Considere a equação:
3x = 12
Vamos dividir os dois membros por 3, obtendo:

Exemplo
Observe que a implicação:

3. Equações do primeiro Grau com uma Incógnita
“Equação do primeiro grau com uma incógnita” é uma equação que pode ser reduzida à forma:

onde:
x é a incógnita
a e b são constantes denominadas coeficientes
b é o termo independente
A determinação do conjunto-verdade de uma equação do primeiro grau é feita através da aplicação direta das propriedades anteriores vistas acima.
Exemplos
Resolva as equações:

Resolução

Como a sentença “0 = 0” é verdadeira para qualquer valor de x ( isto é, é independente de x ), a equação fornecida será satisfeita para qualquer valor de x. Portanto, o conjunto-verdade é igual ao universo:

Como a sentença “0 = 22” é falsa ( é falsa para qualquer valor de x ), então a equação fornecida não será satisfeita para nenhum valor de x. Podemos dizer que a equação não tem solução:


4. Propriedades

Comentário:
Essa terceira propriedade é praticamente desconhecida da maioria dos alunos.
Exemplos

Resolução
Muitos alunos iniciariam aplicando a Propriedade Distributiva e cairiam em uma equação do 2° grau. Um tratamento diferente seria a aplicação da propriedade 3.


Nesse caso, muitos alunos simplesmente ignorariam o denominador, uma vez que a fração está igualada a zero. A justificativa seria que ao “passarmos” o denominador para o outro lado e multiplicando por 0 o resultado seria 0. Veja a propriedade 2 caso você tenha essa dúvida.
Como

A raiz de 5x + 20 = 0 é -4. Porém esse valor não satisfaz a condição e, portanto o conjunto-verdade da equação dada é:

Continuem estudando.
Boa leitura.

Prof. Ricardo Vianna

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Fonte:

  • ANTAR, Aref. Conjuntos e Funções, Noções de Matemática, volume 1. Ed. Moderna, 1979.

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